▷ 为什么物理规则几乎都是乘法？
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想起了阴阳
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这个问题真正奇怪的地方，不是乘法。
而是 “几乎”。
为什么几乎所有理论，绕了一大圈，最后都长成同一种样子？
牛顿是这样。
麦克斯韦是这样。
爱因斯坦是这样。
量子力学也是这样。
你会觉得，他们发现的是不同的世界。
可最后写出来，却像同一个人在不同年代写的。
我最开始以为，这是因为自然规律就长这样。
后来觉得，这个回答太偷懒了。
再后来，我甚至开始怀疑，会不会不是自然喜欢乘法。
而是任何能够成为 “规律” 的东西，最后都不得不变成乘法。
注意，不是物理。
是任何规律。
这个念头来自一个很奇怪的地方。
有一天我突然想到，加法其实很挑剔。
它只能加同一种东西。
苹果只能加苹果。
长度只能加长度。
能量只能加能量。
如果把质量和速度相加，我们马上知道这是错的。
为什么？
以前我觉得，因为量纲不同。
后来发现，量纲只是结果。
真正的原因是，它们属于两个不同的世界。
一个描述 “是什么”。
一个描述 “怎么变”。
它们彼此相容，却不能互相替代。
于是我突然意识到，加法其实一直在干同一件事。
承认等价。
只有完全可以互相替换的东西，才能相加。
而乘法恰恰相反。
乘法永远发生在不能互相替换的东西之间。
质量不能变成速度。
空间不能变成时间。
电荷不能变成电场。
正因为它们不同，所以才能相乘。
想到这里，我突然觉得，加法和乘法根本不是两种计算。
它们是两种哲学。
加法说：
你们是一类东西。
乘法说：
你们不是。
于是整个物理学突然变得特别统一。
所有加法，都发生在相容的世界里。
所有乘法，都发生在相遇的地方。
后来我又想到一个更奇怪的问题。
为什么偏偏就是这两种？
为什么不是第三种？
为什么没有一种运算，既不是加，也不是乘，却能成为物理的基础？
以前我会回答，因为数学就是这样。
后来发现，这句话等于没说。
真正让我改变想法的，是范畴论。
范畴论有一种特别冷酷的视角。
它几乎不关心对象是什么。
它只关心对象之间还能不能区分。
只要还能区分，就意味着世界可以拆开。
只要可以拆开，就一定会出现两件事情。
一种叫并列。
一种叫配对。
后来我才发现，这就是加法和乘法。
所有数学，几乎都逃不过这两件事情。
对象可以并排放着。
也可以绑在一起。
向量空间如此。
群如此。
环如此。
拓扑如此。
逻辑如此。
甚至程序设计也是这样。
后来我突然意识到一件让我头皮发麻的事情。
我们一直觉得，是数学发明了加法和乘法。
也许不是。
也许任何一个能够表达 “可分” 的世界，都会自动长出这两种运算。
不是因为数学规定了它。
而是因为分开和联系，已经穷尽了一切可能。
至少在理性的框架内。
你把世界拆开。
这是加法。
你把拆开的东西重新建立关系。
这是乘法。
第三种在哪里？
没有了。
因为除此之外，你还能干什么？
于是我开始理解，为什么很多数学家后来越来越不在乎数字。
他们在乎的是结构。
数字只是其中一种实现。
加法和乘法，也只是结构的影子。
真正存在的，是两种普适关系。
一种负责保存独立。
一种负责创造联系。
想到这里，我忽然觉得，对数为什么那么神奇，也一下子说通了。
小时候老师说，对数就是指数的逆。
后来学多了觉得，不对。
它真正厉害的地方，是它把一种世界翻译成了另一种世界。
乘法世界里发生的事情。
到了对数世界，全都变成了加法。
增长变成累积。
比例变成差值。
尺度变成距离。
反过来。
指数又把所有加法重新变成乘法。
我越来越觉得，对数根本不是一个函数。
它是一位翻译。
站在两个宇宙之间。
左边的人说乘法。
右边的人听见加法。
突然我意识到一件更可怕的事情。
也许世界根本没有加法和乘法。
只有不同层次上的同一种结构。
今天这一层叫加法。
到了上一层，它其实是乘法。
今天这一层叫乘法。
到了下一层，它其实又变成了加法。
于是世界开始出现一种无限递归。
你以为自己在研究运算。
其实你在研究不同层次之间如何互相解释。
最后，我又绕回了物理。
我后来越来越喜欢一句几乎没人说的话。
相容，所以可以相加。
相遇，所以必须相乘。
这句话比所有公式都重要。
两个力互不排斥，所以叠加。
两个概率幅属于同一个空间，所以叠加。
两个粒子发生作用，所以耦合。
位置和动量互为共轭，所以动力学一定写成配对。
你会发现，所谓乘法，从来不是为了计算。
它是在告诉你：
这里发生了一次相互定义。
一个对象，因为另一个对象，才获得自己的意义。
最后，我甚至开始怀疑，我们是不是把 “乘法” 这个名字取得太差了。
它让人想到九九乘法表。
想到小学。
想到重复加法。
可物理里的乘法，和小学那个乘法，几乎没有血缘关系。
它真正的名字，应该叫：
关系。
于是那个问题，也终于翻了过来。
为什么物理规则几乎都是乘法？
因为物理学从来就不是研究物体。
物体只是关系冻结之后留下来的截图。
物理真正研究的，一直都是关系如何生成关系。
而任何能够表达关系的数学，最后都会长出一种 “乘法”。
任何能够表达独立的数学，最后都会长出一种 “加法”。
所以世界不是只有一种加法、一种乘法。
而是每一种逻辑，都有自己的加法和乘法；每一种数学，都有自己的相容与耦合；每上升一个抽象层次，加法和乘法都会互相变身。
今天的乘法，会成为明天的加法。
今天的对象，会成为明天的关系。
真正不变的，从来不是运算。
而是世界永远只做两件事：
允许独立。
允许相遇。
所谓物理，不过是在寻找，每一个层次上，这两件事各自叫什么名字。
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要回答这个问题, 得从一个更根本的事实说起:
数学不是物理的装饰, 而是物理结构的语言。一个公式长什么样, 取决于它所描述的那类现象, 本身具有什么样的结构。
而自然界的底层, 其实只由少数几种” 组织方式” 反复搭建。每一种组织方式, 都对应着一种数学工具。我们看到的各种公式形态, 不过是这些底层结构的不同侧面。
下面我把这些对应关系梳理一遍。
一、自然界的几种底层组织方式
独立性 —— 对应乘法
两个互不干扰的系统放在一起, 它们的联合状态数等于各自状态数的乘积 (W₁·W₂), 联合概率等于概率的乘积。这是一个极深的数学事实: 独立, 就意味着乘法。
这也解释了为什么一旦涉及” 不同种类物理量之间的关系”, 公式几乎必然是乘法形式——压强、体积、温度之间 (PV=nRT), 力、质量、加速度之间 (F=ma), 电压、电流、电阻之间 (V=IR)。
守恒与叠加 —— 对应加法
能量、动量、电荷在封闭系统里总和不变。“总和不变” 天然是加法结构。当多个因素互不干扰、可以各自独立贡献时, 总效果就是简单相加。力的合成、电场叠加、能量分解都是这个道理。
加法的背后, 是线性叠加原理——这是经典物理能够被清晰描述的关键之一。一旦系统强到非线性 (强引力、湍流), 叠加失效, 物理就变得难解。
局域性 —— 对应微分方程
物理作用不会” 瞬间跨越空间”, 而是通过相邻点一步步传递。这种” 只看邻域” 的性质, 数学上正好是导数——导数就是无穷小邻域里的变化率。
所以麦克斯韦方程组、薛定谔方程、流体方程、爱因斯坦场方程, 全都是微分方程。它们描述的不是某个瞬间的关系, 而是场在空间中如何连续变化。
演化与因果 —— 对应时间导数
“当前状态决定下一刻状态”, 这种因果结构数学上就是一阶时间导数方程。哈密顿方程、薛定谔方程的时间演化部分都是这种形式。决定论的物理世界, 本质上就是一组关于时间的微分方程。
累积效应 —— 对应积分
当某个效应需要沿路径、沿时间累加时, 就要用积分。功是力沿位移的积分, 作用量是拉格朗日量沿时间的积分。积分其实是” 连续版本的加法”。
最优化 —— 对应变分原理
自然界似乎” 偏爱最省的路径”。光走最短光程 (费马原理), 粒子走最小作用量路径 (哈密顿原理)。这种全局最优的结构, 用变分法表达:δS=0。
惊人的是, 整个经典力学、量子场论、广义相对论都可以从一个变分原理推出来。这是物理学最深的统一之一。
自反馈 —— 对应指数函数
只要” 变化率正比于当前量”(dN/dt = λN), 解必然是 e^(λt)。放射性衰变、人口增长、玻尔兹曼分布, 全是这个结构。
这就是为什么 e 在物理里无处不在——它是自反馈过程的自然语言。
周期性 —— 对应三角函数与复指数
只要系统有” 回复力”(偏离平衡就被拉回来), 解就必然是 sin、cos 或 e^(iωt)。简谐振动、电磁波、量子态的相位演化, 全都如此。这不是物理选择的, 是二阶线性方程的数学必然。
对称性 —— 对应群论
空间各向同性、时间均匀、粒子交换不变…… 这些” 某种变换下不变” 的性质, 数学上就是群。
诺特定理把对称性和守恒律直接挂钩: 时间平移对称 → 能量守恒, 空间平移对称 → 动量守恒, 旋转对称 → 角动量守恒。粒子物理的标准模型本质上就是一组群的组合 (U(1)×SU(2)×SU(3))。
几何与曲率 —— 对应张量
广义相对论把引力理解为时空的几何性质。一旦要求” 物理规律在任何坐标系下都成立”, 数学上就必须用张量。黎曼几何提供了现成的语言, 爱因斯坦才写出 G_μν=8πT_μν。
量子化与离散性 —— 对应线性算符的本征值
量子系统的能级是离散的, 可观测量是算符, 测量结果是本征值。这种” 只能取某些特定值” 的结构, 数学上正是线性算符的谱。希尔伯特空间、矩阵力学都从这里来。
随机性 —— 对应概率论
热力学、量子力学底层都有不可消除的随机性。大量粒子的统计行为需要分布函数来描述, 概率论和测度论提供了精确语言。
二、回到最初的问题: 为什么乘法最常见?
梳理完上面的清单, 就能给出一个比较完整的回答了。
乘法之所以在基础物理公式里出现得最频繁, 是因为它同时匹配了好几种最底层、最普遍的组织方式:
第一, 量纲闭合要求它。 不同物理量带着不同单位, 要组合成新的量, 乘除是唯一能改变量纲的运算。加减只能发生在同量纲的量之间。所以只要公式涉及不同种类的物理量, 乘法几乎无可避免。
第二, 独立性对应它。 独立 → 乘法, 这是数学最深的事实之一。自然界大量现象都可以近似拆成独立因素, 乘法就成了最自然的组合方式。
第三, 线性近似产生它。 任何光滑函数在小范围内都可以近似成 y≈kx, 这就是乘法。自然界很多现象在常见尺度下恰好处于这种” 弱扰动” 区间, 一阶近似就够用——胡克定律、欧姆定律、弱场引力都是这么来的。
第四, 标度对称性强制它。 如果一个规律要求” 输入放大 n 倍, 输出也放大 n 倍”, 数学上它只能是 y=kx 的形式。
第五, 很多” 乘法” 背后其实是加法。 取对数后, 乘法变加法。熵 S=k ln W 就是把” 独立系统微观状态数相乘” 转化成” 熵相加”。所以乘法和加法常常是同一种结构的两面。
换句话说——乘法常见, 不是偶然, 而是因为它匹配了独立、标度、量纲组合这些自然界里最普遍的底层特征。
三、一个更深的问题: 为什么数学和物理能对得这么齐?
你会发现上面的清单非常整齐: 每一种物理组织方式, 恰好匹配一种数学结构。这就是维格纳说的那句著名的话——” 数学在自然科学中不可思议地有效”。
这种对应不是巧合, 也不完全是” 数学是万能语言”。更准确的说法是:
物理世界似乎是由少数几种组织原则搭建起来的——对称、局域、守恒、独立、演化、最优、周期、反馈、几何、离散、随机。而数学, 正好是研究这些抽象结构的学科。
物理学在具体的自然现象中发现结构, 数学在抽象的逻辑空间中研究结构, 两者在结构这一层面相遇。
所以物理公式之所以” 长成那个样子”, 不是物理学家随便挑的, 也不是数学强加的。是因为:
自然界有什么样的结构, 数学就用什么样的形式去抓住它。
公式的形状, 就是自然的形状。
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费曼在 1962 年的讲座中，有一位学生也问出了类似的问题，费曼的回答是：我们之所以在课本里花了这么多时间去讲这些线性的、可以用简单乘法表达的物理系统，原因只有一个：
“因为我们能解出它们。”
真实世界里，哪怕是最简单的单摆，其受力方程里也包含一个非线性的三角函数 \sin\theta\sin\theta。但当摆动幅度很小时，物理学家发现 \sin\theta\sin\theta 几乎等于 \theta\theta 。
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于是，为了能算出答案，人类用简单的乘法来替代。一旦越过这种微小扰动的安全区，简单的乘法就会失效。
这种错觉其实是一种建立在基础教育上的 “幸存者偏差”。
翻开流体力学的课本，就可以直观地看到，真实的物理法则里充满了偏导数、微积分符号和复杂的变量加和。
不过还有一个问题是，为何简化是乘法，而不是加法？
因为乘法是跨越 “量纲壁垒” 的唯一合法工具。
1914 年，物理学家 E. Buckingham[1]
指出，你永远不能把 1kg 和 1m 相加。
为了在宇宙中创造出像 “力” 或 “能量” 这样全新的概念，唯一的合法手段就是把不同性质的基础单位 “乘” 在一起。
为了让等号两边的物理意义保持一致，必须通过变量相乘的方式拼凑出合理的量纲，这就是为什么物理定律的基础骨架必定是由乘积构成的。
此外，我们身处的环境，大都是大自然的 “和平区”。
根据泰勒级数的定义，任何一条复杂扭曲的曲线，只要你把它放大到极小的一段来看，它都可以被近似当作一条直线。
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这条直线写成数学表达式，就是一个简单的一次乘法，而公式后面更复杂的二次、三次项在微小的变化中衰减到可以忽略不计。
物理学界正是建立在这种近似之上的。
2021 年，物理学家 J. J. Bissell[2]
从动力学角度证明了这一点。他指出，任何物理系统在处于稳定平衡点附近时，其总能量的分布在局部看起来就像一个平坦的抛物面。
当你对这个抛物面求导以获取受力规律时，得到的结果必然是一个极其简单的一次线性方程。
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当系统偏离平衡点，扰动不再微小时会怎样？
这个时候，简单的乘法就失效了。在流体力学的纳维 - 斯托克斯方程中，因为多出了一个变量自身乘以自身空间偏导数的项，简单的世界瞬间化为连超级计算机都难以求解的混沌状态。
这也是为什么预测湍流至今仍是悬赏百万美元的千禧年数学难题。
不过，即便我们知道这些简单的乘法是一阶近似的结果，但数学这个原本由人类为了逻辑推演而发明的抽象工具，竟然能如此精准地描述自然界，这本身就很神奇。
正如 1960 年维格纳所感叹的：大自然恰好能用这些简单的数学语言来表述，是一个人类既无法完全理解，也不配拥有的奇妙礼物。
参考
^
Buckingham, E. (1914). On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Physical Review, 4(4), 345-376. https://doi.org/10.1103/PhysRev.4.345
^
Bissell, J. J. (2021). On the ubiquity of classical harmonic oscillators and a universal equation for the natural frequency of a perturbed system. American Journal of Physics, 89(12), 1094-1102. https://doi.org/10.1119/10.0005948